FRAKTAL FLOOR SPACE FILLING

Fraktal berasal dari bahasa Inggris yaitu Fractal. Istilah Fractal dibuat oleh Benoit Maldelbrot pada tahun 1975 dari kata Latin Fractus yang artinya patah, rusak, atau tidak teratur.

Fraktal adalah benda geometris yang kasar pada segala skala, dan terlihat dapat "dibagi-bagi" dengan cara yang radikal. Beberapa fraktal bisa dipecah menjadi beberapa bagian yang semuanya mirip dengan fraktal aslinya. Fraktal dikatakan memiliki detail yang tak hingga dan dapat memiliki struktur serupa diri pada tingkat perbesaran yang berbeda. Pada banyak kasus, sebuah fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola, biasanya dalam proses rekursif atau iteratif. (wikipedia). Dengan kata lain fraktal adalah suatu bentuk yang sangat kompeks yang dapat dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang sama dengan bentuk aslinya.

Berbagai jenis fraktal pada awalnya dipelajari sebagai benda-benda matematis. Geometri fraktal adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat dan perilaku fraktal. Fraktal bisa membantu menjelaskan banyak situasi yang sulit dideskripsikan menggunakan geometri klasik, dan sudah cukup banyak diaplikasikan dalam sains, teknologi, dan seni karya komputer.

Dalam analisis matematika, space filling curve (kurva mengisi ruang) adalah kurva-kurva yang mengisi ruang 2 dimensi dalam  unit persegi (atau secara umum dalam n-dimensi subpersegi). Space filling curve disebut juga dengan kurva Peano, karena Giuseppe Peano (1858-1932) merupakan orang pertama yang menemukan space filling curve pada bidang 2-dimensi.

Giuseppe Piano

KONTRUKSI

Kurva space filling ini dibuat menggunakan aplikasi CorelDraw. CorelDraw adalah editor grafik vektor yang dikembangkan oleh Corel. Langkah membuat kurva peano yaitu dengan membuat satu persegi dan membagi persegi itu menjadi n-bagian. Dari tiap satu persegi terdapat satu titik pusat. Untuk U1 terdapat empat persegi sehingga terdapat empat titik pusat pula. Titik-titik pusat tersebut dihubungkan karena kurva ini merupakan garis yang tidak berujung maka satu garis tidak dihubungkan. Untuk U selanjutnya tiap kotak dibagi menjadi 4 bagian.

Gambar di atas apabila kita perhatikan banyak garis berwarma merah untuk membuat pola ke-n, maka untuk  mencari rumus Un dan Sn adalah sebagai berikut :

1.      Mencari rumus Un

n	1	2	3	4
Un	3	12	48	192
Sn	3	15	63	255

Deret : 3 + 12 + 48 + . . . + Un               

Dari deret tersebut didapatkan :

a = 3

r = 4

Untuk mencari rasio bisa menggunakan cara :

      

Setelah kita dapatkan bilangan pertama dan rasionya maka kita subtitusikan ke dalam persamaan umum Un deret geometri :

 

Pembuktian :  

 

Sehingga terbukti bahwa untuk mencari rumus Un yaitu menggunakan  rumus :  

 

Rumus :

 Karena apabila menggunakan rumus :

 

 Maka hasilnya akan berbeda. Pembuktian :

 

2.      Menentukan Sn

Untuk mencari rumus Sn subtitusikan nilai a dan r ke rumus umum geometri :

 

 Pembuktian :

 

Sehingga terbukti bahwa untuk mencari rumus Sn yaitu menggunakan rumus :

Rumus :

 

karena apabila menggunakan rumus :

Hasilnya akan berbeda. Pembuktian :

3.     Pembuktian rumus Un dan Sn menggunakan induksi matematika :

Bukti : 

a)   Misalkan p(n) menyatakan :

     

       Untuk p(1) :

     

b)   Diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu :

    

      Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa p(k+1) benar, yaitu :

         

      Hal ini ditunjukkan sebagai berikut :

        

      Terbukti bahwa :

    

      Untuk p(k + 1) pernyataannya benar.

      Sehingga p(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Kesimpulan :

Space filling curve (kurva mengisi ruang) adalah kurva-kurva yang mengisi ruang 2 dimensi dalam  unit persegi (atau secara umum dalam n-dimensi subpersegi). Kurva space filling ini dibuat menggunakan aplikasi CorelDraw. Langkahnya yaitu dengan cara membuat satu persegi dan membagi persegi itu menjadi n-bagian. Dari tiap satu persegi terdapat satu titik pusat. Untuk U1 terdapat empat persegi sehingga terdapat empat titik pusat pula. Titik-titik pusat tersebut dihubungkan karena kurva ini merupakan garis yang tidak berujung maka satu garis tidak dihubungkan. Untuk U selanjutnya tiap kotak dibagi menjadi 4 bagian.

           Banyak garis berwarna merah dari garis atau pola fraktal space filling merupakan deret geometri sehingga untuk mencari banyak garis berwarna merah pada pola ke-n digunakan rumus :

dan untuk mencari banyak garis berwarna merah secara keseluruhan pada pola ke-n digunakan rumus :

 

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan artikel ini masih jauh dari kata sempurna, maka dari itu penulis mengaharapkan kritik dan saran dari berbagai pihak. Semoga dengan adanya essay ini bisa memberi manfaat kepada  para pembaca untuk menambah suatu pengetahuan dalam bidang matematika.

Daftar Pustaka :

Anonim (2015). Fraktal. [online]. Tersedia: https://id.wikipedia.org/wiki/Fraktal [13 Juni 2016]

Anonim (2014). Peano Curve. [online]. Tersedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_curve . [11 Juni 2016]

Anonim (2016). Giuseppe Peano. [online]. Tersedia:https://en.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Peano .[11 Juni 2016]

Anonim (2016). Space Filling Curve. [online]. Tersedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve. [11 Juni 2016]

Enrico (2016).Corel Draw. [online]. Tersedia: https://id.wikipedia.org/wiki/CorelDRAW